円の曲がり方

座標平面上の円周上での運動を考える。
運動する点Pの位置ベクトルをr、円の中心の位置ベクトルをA、半径をa(>0)とすると、時間tの関数f(t)(>0)を使って
　r　= A + a{icosf(t) + jsinf(t)}
と表すことができる(i、jはx軸、y軸方向の単位ベクトル)。
時間t₀からの弧長sは、Pが円周上を運動していることから直ちに
　s　= a{f(t) - f(t₀)}　= af(t) - C
と表すことができ(C=af(t₀)は定数)、
　f(t)　= (s + C)/a
　r　= A + a{icos(s + C)/a + jsin(s + C)/a}
曲率半径ρは、
　1/ρ　= |d²r/ds²|　= |(d/ds){-isin(s + C)/a + jcos(s + C)/a}|　= |{-icos(s + C)/a - jsin(s + C)/a}|/a　= √{cos²(s + C)/a + sin²(s + C)/a}/a　= 1/a
　ρ　= a