離れるか

図のように異なる位置ベクトルP1、P2で表される２点が、速度V1、V2で運動しているとき、２点が近付いているか離れてゆくかを調べる。

D=P2-P1とし、t＞0、|V1|t≪|D|、|V2|t≪|D|を満たすtを考えたとき、|(P2+V2t)-(P1+V1t)|＜|D|であれば近付いている。

この不等式を変形する。
|(P2-P1)+(V2t-V1t)|＜|D|
|D+(V2-V1)t|＜|D|
両辺とも０より大きいので、
|D+(V2-V1)t|²＜|D|²
|D|²+2D・(V2-V1)t+|V2-V1|²t²＜|D|²
2D・(V2-V1)+|V2-V1|²t＜0
ここで、t→0の極限を取ると、|V2-V1|²tが0または0に限りなく近い正の数であるため、
2D・(V2-V1)＜0
D・(V2-V1)＜0

従って、D・(V2-V1)＜0のとき、２点は近付く。
これは、２点が近付く方向に運動していることを意味している。

同様にして計算すると、離れる条件は、|(P2+V2t)-(P1+V1t)|＞|D|から、
2D・(V2-V1)+|V2-V1|²t＞0
ここで、t→0の極限を取ると、|V2-V1|²tが0または0に限りなく近い正の数であるため、
D・(V2-V1)＞0
または、
D・(V2-V1)＝0、かつ、|V2-V1|≠0
前者はお互いに離れる方向に運動していることを意味し、後者は同じ方向に異なる速さで進んでいることを意味している。

最後に、同じ距離を保つ場合を考えると、
|(P2+V2t)-(P1+V1t)|＝|D|
2D・(V2-V1)+|V2-V1|²t＝0
t＞0なので、
D・(V2-V1)＝|V2-V1|＝0
これは、２点は同じ方向、同じ速さ、すなわち同じ速度で運動していることを意味する。